Pierwotna z dystrybucji określonej na R

W analizie klasycznej funkcją pierwotną (albo całką nieoznaczoną) z funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcje \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) taką, że \( \hskip 0.3pc F^\prime =f.\hskip 0.3pc \) Funkcje dla których istnieje funkcja pierwotna nazywamy funkcjami całkowalnymi. Należą do nich na przykład wszystkie funkcje ciągłe. Okazuje się, że pojęcie funkcji pierwotnej może być rozszerzone na dystrybucje. Mianowicie pokażemy, że każda dystrybucja na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) posiada pierwotną, która jest również dystrybucją na \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Dystrybucja pierwotna, podobnie jak całka nieoznaczona, jest określona z dokładnością do stałej, tzn. dowolne dwie pierwotne tej samej dystrybucji różnią się o stałą i jeśli dwie dystrybucje różnią się o stałą to są pierwotnymi tej samej dystrybucji.
Ponieważ pierwotna jest typem operacji odwrotnej do różniczkowania, nasuwa się natychmiast pomysł aby dystrybucje pierwotną \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) z dystrybucji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) określić następująco:

(1)

\( \big<F,\varphi^\prime \big>= -\big<f,\varphi\big> \quad \textrm {dla dowolnej funkcji}\quad \varphi\in D(\mathbb R). \)

Niestety, wzór ( 1 ) określa funkcjonał \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) tylko na podzbiorze \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) przestrzeni \( \hskip 0.3pc D^*({\mathbb R}),\hskip 0.3pc \) gdzie

\( D_1(\mathbb R)= \Big\{\varphi \in D(\mathbb R)\,:\, \varphi =\psi^\prime , \,\psi \in D(\mathbb R)\Big\}. \)

Nietrudno sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) tzn. istnieją \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc \varphi \notin D_1(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)
Na przykład funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) dana wzorem

\( \phi (x) =\begin{cases}e^{\frac{1}{x^2-1}}, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc \, |x|<1 ,\\0, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc \, |x|\geq 1 \end{cases} \)

nie należy do \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \). Warunek (1) możemy zapisać w postaci równoważnej

(2)

\( \big<F,\varphi \big>= -\big<f,\psi_{\varphi}\big> \quad \textrm {dla dowolnej funkcji}\quad \varphi\in D_1(\mathbb R). \)

gdzie

\( \psi_{\varphi}(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x\varphi (s)ds. \)

Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi \in D_1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi} \in D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)
Z postaci wzoru ( 1 ) wynika natychmiast, że \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)
Aby otrzymać rozsądną definicje pierwotnej, należy tak określony funkcjonał \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) rozszerzyć na calą przestrzeń \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Okazuje się, że nie ma jednoznacznego sposobu rozszerzenia, co wynika z faktu, że jest wiele pierwotnych dla danej dystrybucji. Aby uzyskać przedłużenie funkcjonału ( 2 ) posłużymy się następującym lematem.

Lemat 1:

Niech \( \hskip 0.3pc \varphi_0\in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) będzie ustaloną funkcją taką, że

(3)

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_0(x)dx=1. \)

Wówczas każda funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) może być (jednoznacznie) przedstawiona w postaci sumy

(4)

\( \varphi = \lambda \varphi_0+\chi, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \chi \in D_1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) a stała \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) jest dana wzorem

(5)

\( \lambda =\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi (x)dx. \)

Istotnie, zauważmy najpierw, że \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) nie należy do \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) (w przeciwnym razie całka z \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) po \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) byłaby równa zeru). Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Wówczas funkcja

\( \chi=\varphi -\lambda \varphi_0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) jest dane wzorem ( 5 ), jest jednoznacznie określona i oczywiście należy do \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \) Twierdzimy, że funkcja \( \hskip 0.3pc \chi\hskip 0.3pc \) należy do \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \) W tym celu wystarczy sprawdzić, że funkcja

(6)

\( \psi (x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \chi (s)ds \)

należy do \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)
Istotnie, w oczywisty sposób \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}.\hskip 0.3pc \) Ponadto, po lewej stronie nosników funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \chi, \hskip 0.3pc \) a zatem i funkcja \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest identycznie równa zeru, zaś po prawej stronie jest równa stałej, przy czym stała ta też jest równa zeru, bowiem

\( \psi (+\infty )= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\big[\varphi (s)- \lambda \varphi_0(s)\big]ds =\displaystyle\int_{-\infty}^ {+\infty}\varphi (s)\,ds-\lambda\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_0 (s)\,ds =\lambda - \lambda=0. \)

Oznacza to, że \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) ma nośnik zwarty, a zatem jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Oczywiście \( \hskip 0.3pc \chi =\psi ^\prime,\hskip 0.3pc \) co oznacza, że \( \hskip 0.3pc \chi \in D_1(\mathbb R ).\hskip 0.3pc \)

Uwaga 1:

Zauważmy, że lemat 1 można sformułować dla \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(a,b).\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \varphi_0\in D(a,b)\hskip 0.3pc \) będzie ustaloną funkcją taką, że

(7)

\( \displaystyle\int_a^b\varphi_0(x)dx=1. \)

Wówczas każda funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(a,b)\hskip 0.3pc \) może być (jednoznacznie) przedstawiona w postaci sumy ( 4 ), gdzie

(8)

\( \lambda =\displaystyle\int_a^b \varphi (x)dx, \quad \chi \in D_1(a,b), \quad \psi (x)= \displaystyle\int_a^x \chi(s)ds. \)

Definicja 1:

Pierwotną z dystrybucji \( \hskip 0.3pc f\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) nazywamy dystrybucje \( \hskip 0.3pc F\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) określoną wzorem

(9)

\( \langle F,\,\varphi \rangle \hskip 0.1pc =\, \lambda\langle F,\,\varphi_0\rangle -\langle f,\,\psi\rangle \quad{\rm dla}\quad \varphi \in D(\mathbb R), \)

gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi_0 \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest ustalona, \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.1pc \chi\hskip 0.3pc \) są wzięte zgodnie z lematem 1, zaś funkcja \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest dana wzorem ( 6 ).

Zauważmy najpierw, że \( \hskip 0.3pc \langle F,\varphi_0\rangle \hskip 0.3pc \) nie zależy od \( \hskip 0.3pc \varphi,\hskip 0.3pc \) czyli jest stałą, która zależy od wyboru \( \hskip 0.3pc \varphi _0\hskip 0.3pc \) i może przyjmować dowolnie wartości. Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi \in D_1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \lambda =0,\hskip 0.3pc \) \( \varphi =\chi,\hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc \psi ^\prime =\varphi \hskip 0.3pc \) i w konsekwencji równość ( 9 ) przyjmie postać

\( \langle F,\psi ^\prime\rangle =-\langle f, \psi \rangle , \)

a zatem pokrywa się z równością ( 1 ).

Należy sprawdzić, że definicja 1 jest poprawna, tzn. że \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) a pochodna z \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)jest równa \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)

Pokażemy najpierw, że \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym na \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \varphi_1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc \varphi_2 \in D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) \( \alpha_1,\hskip 0.3pc \) \( \alpha_2 \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z lematem 1

\( \varphi_1=\lambda_1\varphi_0+\chi_1, \quad \varphi_2= \lambda_2\varphi_0+\chi_2, \)

gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi_0 \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest ustalona, a \( \hskip 0.3pc \lambda_1,\hskip 0.3pc \) \( \lambda_2,\hskip 0.3pc \) \( \chi_1,\hskip 0.3pc \) \( \chi_2\hskip 0.3pc \) są dobrane zgodnie z lematem 1. Ponadto niech \( \hskip 0.3pc \psi_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi_2\hskip 0.3pc \) odpowiadają funkcjom \( \hskip 0.3pc \chi_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \chi_2\hskip 0.3pc \) zgodnie z wzorem ( 6 ).
Niech \( \hskip 0.3pc \varphi =\alpha _1\varphi _1+\alpha _2\varphi _2,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc \lambda ,\hskip 0.3pc \) \( \chi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) są dobrane do \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) zgodnie z lematem 1. Nietrudno sprawdzić, że

\( \lambda =\alpha _1\lambda _1+\alpha _2\lambda _2,\quad \chi =\chi _1+\chi _2,\quad \psi = \alpha _1\psi _1 +\alpha _2\psi _2. \)

Zgodnie z ( 9 ), mamy

\( \begin{aligned}\big{\langle} F,\, \alpha_1\varphi_1+\alpha_2\varphi_2\big{\rangle} =&(\alpha_1\lambda_1 + \alpha_2 \lambda_2)\big{\langle} F,\varphi_0\big{\rangle} -\big{\langle} f,\alpha_1\psi_1+\alpha_2\psi_2\big{\rangle} =\\& \alpha_1\big(\lambda_1{\langle} F,\,\varphi_0{\rangle} - {\langle} f,\,\psi_1{\rangle} \big)+\alpha_2\big(\lambda_2{\langle} F,\,\varphi_0{\rangle} -{\langle} f,\,\psi_2{\rangle} \big)=\\&\alpha_1\big{\langle} F,\,\varphi_1\big{\rangle} +\alpha_2\big{\langle} F,\,\varphi_2\big{\rangle} ,\end{aligned} \)

co oznacza, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest liniowy.

Z kolei pokażemy, że \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym na \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\} \subset D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) \( \varphi _i\to 0\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z lematem 1

\( \varphi_i= \lambda_i \varphi_0+\chi_i, \qquad i\in \mathbb N, \)

gdzie

\( \lambda_i=\displaystyle\int_{\mathbb R}\varphi_i (s)ds,\qquad \chi_i=\varphi _i-\lambda_i \varphi _0 . \)

Ponieważ ciąg liczb \( \hskip 0.3pc \{\lambda_i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera, również ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{\chi_i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera w \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) W konsekwencji ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi_i\},\hskip 0.3pc \) gdzie

\( \psi_i(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x\chi_i(s)ds \)

jest zbieżny do zera w \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)

Z równości

\( \langle F,\,\varphi_i\rangle =\lambda_i \langle F, \varphi_0\rangle -\langle f,\, \psi_i\rangle \)

wynika, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{\langle F,\,\varphi_i\rangle\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera. Na mocy uwagi 2 z modułu "Wprowadzenie do teorii dystrybucji" wnosimy, że \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym, co należało wykazać.
Pozostaje sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc F^\prime=f.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Na mocy definicji 2 z modułu "Pochodna w sensie dystrybucyjnym" oraz równości ( 1 ) mamy

\( \langle F^\prime,\,\varphi\rangle =-\langle F,\,\varphi ^\prime\rangle =\langle f,\,\varphi\rangle, \)

co kończy dowód.

Przykład 1:

Znaleźć pierwotne z dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta.\hskip 0.3pc \)

Oznaczmy pierwotną z dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) przez \( \hskip 0.3pc \Delta.\hskip 0.3pc \) Ustalmy funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi_0\in D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) spełniającą warunek (1). Przyjmijmy \( \hskip 0.3pc a=\langle \Delta ,\,\varphi_0\rangle.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z wzorami ( 9 ), ( 8 ), ( 6 ), ( 4 ) i ( 5 ), dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi\in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}\langle \Delta,\,\varphi \rangle =&\lambda\langle \Delta,\,\varphi_0 \rangle -\langle \delta,\,\psi \rangle\,=\,\lambda\,a - \psi (0)=a\lambda - \displaystyle\int_{-\infty}^{0}\chi (s)ds=\\& \lambda\,a- \displaystyle\int_{-\infty}^{0}(\varphi (s)-\lambda \varphi_0(s))\,ds\,= \lambda \Big(a+ \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \varphi_0(s)ds\Big) -\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \varphi(s)\,ds=\\& \lambda \Big(a+ \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \varphi_0(s)ds\Big) -\displaystyle\int_ {-\infty}^{+\infty}\varphi (s)\,ds + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(s)ds=\\& \lambda \Big(a+ \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \varphi_0(s)ds-1\Big) + \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}H(s)\varphi (s)ds =\\& C\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s)\,ds +\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} H(s)\varphi(s)\,ds \,=\, \langle C+H,\varphi \rangle ,\end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc H\hskip 0.3pc \) jest funkcją Heviside'a, a stała

\( C= a- 1+\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \varphi_0(s)ds. \)

Zatem \( \hskip 0.3pc \Delta =H+C.\hskip 0.3pc \) Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi _0\hskip 0.3pc \) dobierzemy tak, aby \( \hskip 0.3pc a=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc {\rm supp} \,\varphi_0 \subset (0,+\infty ),\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc C=0\hskip 0.3pc \), a stosowna pierwotna jest dokładnie funkcją Heviside'a.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Pierwotna z dystrybucji określonej na R

Lemat 1:

Uwaga 1:

Definicja 1:

Przykład 1: